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　　一、中国剩余定理的由来

　　我国古代数学名着《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

　　二、“中国剩余定理”算理及其应用

　　明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

　　三人同行七十（70）稀，

　　五树梅花廿一（21）枝，

　　七子团圆正月半（15），

　　除百零五（105）便得知。

　　歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：

　　70×2＋21×3＋15×2－105×2=23

　　为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

　　三、“中国剩余定理”的应用

　　主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目。

　　【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

　　A．81 B．34

　　C．128 D．103

　　【答案】B

　　【解析】本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。

　　则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

　　为了使20被3除余1，用20×2=40；

　　使15被4除余1，用15×3=45；

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

　　因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。所以选择B选项。

　　【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

　　A．53 B．34

　　C．128 D．73

　　【答案】A

　　【解析】本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。

　　则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

　　为了使56被3除余1，用56×2=112；

　　使24被7除余1，用24×5=120。

　　使21被8除余1，用21×5=105；

　　然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

　　因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。所以选择A选项。

　　【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

　　A．24B．46

　　C．299 D．73

　　【答案】C

　　【解析】本题属于余数问题。题中5、8、11三个数两两互质。

　　则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

　　为了使88被5除余1，用88×2=176；

　　使55被8除余1，用55×7=385；

　　使40被11除余1，用40×8=320。

　　然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，

　　因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。所以选择C选项。

　　【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？

　　A．95B．116

　　C．99 D．302

　　【答案】D

　　【解析】本题属于余数问题。题中9、7、5三个数两两互质。

　　则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

　　为了使35被9除余1，用35×8=280；

　　使45被7除余1，用45×5=225；

　　使63被5除余1，用63×2=126。

　　然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，

　　因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。所以选择D选项。